Le Taquin de Sam Loyd : la plus célèbre arnaque mathématique de l’histoire
Imaginez qu’on vous propose un défi apparemment simple : remettre en ordre les pièces d’un puzzle coulissant, avec à la clé une récompense de 1 000 dollars - une somme colossale à la fin du XIXe siècle. Des millions de personnes ont essayé. Des nuits entières y ont été consacrées. Des employeurs se sont plaints de la chute de productivité de leurs ouvriers. Pourtant, personne n’a jamais réclamé le prix. Non pas par manque de talent ou de persévérance, mais parce que la solution n’existait tout simplement pas. Bienvenue dans l’histoire du puzzle 14-15, la plus audacieuse arnaque mathématique jamais montée.
Sam Loyd, le prince des casse-tête
Pour comprendre cette histoire, il faut d’abord connaître son protagoniste. Samuel Loyd (1841-1911) était un personnage hors du commun : joueur d’échecs prodige, créateur de puzzles prolifique et showman né. Dès l’âge de 14 ans, il composait des problèmes d’échecs publiés dans les journaux new-yorkais. À 20 ans, il était reconnu comme l’un des meilleurs créateurs de problèmes au monde.
Mais Loyd ne se contentait pas des échecs. Il créait des rébus, des devinettes, des casse-tête géométriques et des puzzles mathématiques pour les plus grands journaux américains. Sa rubrique hebdomadaire était lue par des millions de personnes. Il possédait un talent rare : rendre les mathématiques passionnantes pour le grand public. Et surtout, il avait un sens aigu du spectacle et de la provocation.
Le puzzle 14-15 : un défi diabolique
Dans les années 1870, le taquin classique faisait déjà fureur aux États-Unis. Ce puzzle 4×4 avec 15 pièces numérotées et une case vide captivait les foules. C’est alors que Sam Loyd eut une idée géniale - ou diabolique, selon le point de vue. Il proposa une variante précise : un taquin où toutes les pièces sont en ordre, sauf les numéros 14 et 15 qui sont inversés. Le défi : remettre ces deux pièces dans le bon ordre sans soulever aucune pièce du plateau, en utilisant uniquement les glissements autorisés.
Loyd offrait 1 000 dollars à quiconque trouverait la solution. À une époque où le salaire annuel moyen d’un ouvrier était d’environ 400 dollars, la somme était vertigineuse. L’offre déclencha une véritable fièvre du puzzle qui dépassa largement les frontières américaines.
Une folie planétaire
La « 14-15 mania » atteignit des proportions inimaginables. Des journaux du monde entier relayaient le défi. Des dentistes rapportaient que leurs patients tentaient de résoudre le puzzle pendant les soins. Des employés étaient surpris à y jouer pendant leurs heures de travail. Des législateurs de l’État de New York auraient même été pris en flagrant délit de taquinage pendant une session parlementaire.
En France, le puzzle fut baptisé « le jeu du Taquin » - nom qu’il conserve encore aujourd’hui. En Allemagne, il devint le « Boss Puzzle ». Des fabricants produisîrent des millions d’exemplaires. Certains prétendaient avoir trouvé la solution, mais aucun ne put jamais la démontrer devant témoins. Les journaux recevaient des centaines de lettres par jour de lecteurs affirmant avoir réussi - pour ensuite réaliser qu’ils avaient commis une erreur ou triché sans s’en rendre compte.
Pourquoi le défi est impossible : la parité des permutations
Le secret du puzzle 14-15 repose sur un concept mathématique élégant : la parité des permutations. Pour comprendre, il faut plonger brièvement dans les mathématiques du taquin.
Une permutation est un réarrangement d’éléments. Chaque permutation peut être décomposée en une série de transpositions (des échanges de deux éléments). La propriété fondamentale est la suivante : même si cette décomposition n’est pas unique, le nombre de transpositions est toujours pair ou toujours impair pour une permutation donnée. On dit qu’une permutation est « paire » ou « impaire ».
Dans le taquin, chaque glissement de pièce équivaut à une transposition entre la pièce déplacée et la case vide. Lorsque la case vide revient à sa position initiale (en bas à droite), elle a effectué un nombre pair de déplacements. Cela signifie que la permutation résultante des pièces doit être paire.
Or, inverser uniquement les pièces 14 et 15 constitue une seule transposition - une permutation impaire. Il est donc mathématiquement impossible de passer de la configuration 14-15 inversée à la configuration résolue par une suite de glissements légaux. Loyd le savait parfaitement. Ses 1 000 dollars étaient en sécurité.
La preuve formelle : Johnson et Story
La démonstration rigoureuse de l’impossibilité fut publiée en 1879 par les mathématiciens William Woolsey Johnson et William Edward Story dans l’American Journal of Mathematics. Leur article établissait définitivement que les configurations du taquin se divisent en deux classes égales : les configurations accessibles depuis l’état résolu (permutations paires) et celles qui ne le sont pas (permutations impaires). Le puzzle 14-15 appartient à la seconde classe.
Cette preuve est l’une des premières applications concrètes de la théorie des groupes à un problème populaire. Elle démontre qu’exactement la moitié des 16!/2 configurations possibles du taquin sont atteignables depuis l’état initial - soit environ 10 000 milliards de configurations accessibles et autant d’inaccessibles.
Loyd : génie ou escroc ?
La question mérite d’être posée. Sam Loyd savait-il dès le départ que son défi était impossible ? Tout porte à le croire. Loyd était un mathématicien compétent, familier avec les propriétés des permutations. Il a d’ailleurs tenté de déposer un brevet pour le puzzle, mais l’office des brevets lui a demandé de fournir une solution - ce qu’il ne pouvait évidemment pas faire.
Cependant, qualifier Loyd d’escroc serait injuste. Il n’a jamais vendu de faux espoirs : il a posé un défi et proposé une récompense. Que le défi soit impossible ne rendait pas l’offre malhonête - elle la rendait mathématiquement astucieuse. C’était, au fond, une manière brillante de populariser un résultat mathématique profond auprès du grand public. Des millions de personnes ont découvert la notion de parité des permutations sans même s’en rendre compte.
Ce que le puzzle 14-15 nous enseigne
Au-delà de l’anecdote historique, le défi de Sam Loyd contient plusieurs leçons durables :
- L’importance de prouver avant d’essayer - Des millions de personnes ont passé des heures à tenter l’impossible, alors qu’une analyse mathématique préalable aurait révélé l’impossibilité en quelques minutes. Cela illustre la puissance du raisonnement formel face à l’essai-erreur aveugle.
- La notion d’invariant - La parité est un invariant du système : une propriété qui ne change jamais, quels que soient les mouvements effectués. Ce concept est fondamental en informatique et en physique, bien au-delà du taquin.
- Distinguer le difficile de l’impossible - En mathématiques, un problème très difficile et un problème impossible sont fondamentalement différents. Le premier nécessite plus d’efforts ; le second, aucune quantité d’efforts ne suffira jamais.
Comment reconnaître un taquin insoluble
Grâce au travail de Johnson, Story et d’autres mathématiciens, nous disposons aujourd’hui d’un critère simple pour déterminer si une configuration de taquin est soluble. Il suffit de compter le nombre d’inversions - les paires de pièces où la pièce de plus grand numéro précède celle de plus petit numéro dans la lecture linéaire du plateau.
Pour un taquin 4×4, une configuration est soluble si et seulement si la somme du nombre d’inversions et du numéro de la rangée de la case vide (en comptant depuis le bas) est paire. Ce test élégant garantit que tout taquin généré aléatoirement pourra être vérifié avant même de commencer à jouer - évitant ainsi de reproduire la frustration des contemporains de Sam Loyd.
L’héritage d’une arnaque géniale
Près de 150 ans plus tard, le puzzle 14-15 reste l’un des exemples les plus cités dans les cours de mathématiques pour illustrer la théorie des groupes et la parité des permutations. Il figure dans d’innombrables manuels de combinatoire et d’algèbre. Sam Loyd, quant à lui, est entré dans l’histoire comme le « prince des puzzles » - un titre qu’il mérite amplement, ne serait-ce que pour avoir démontré que les mathématiques pouvaient faire trembler un continent entier avec un simple plateau de quinze pièces.
La prochaine fois que vous glisserez les pièces d’un taquin, souvenez-vous : si les numéros refusent obstinément de se mettre en place, ce n’est peut-être pas votre faute. C’est peut-être simplement que les mathématiques ont décidé que c’était impossible - et contre les mathématiques, même Sam Loyd ne pouvait rien.