Combien de lancers pour rentrer un cheval ? Ce que coûtent les règles des petits chevaux
Tout le monde sent que la règle traditionnelle des petits chevaux est plus longue que la règle rapide. Mais où passe exactement le temps ? Nous avons fait le calcul avec le moteur du jeu, de deux façons. D'abord exactement, pour un cheval seul sur le plateau : chaque position est un état, chaque lancer une transition, et on résout le système obtenu (une chaîne de Markov). Ensuite en faisant jouer à l'ordinateur 120 000 parties complètes. Le résultat principal tient en une ligne : un cheval seul demande en moyenne 68,5 lancers en règle traditionnelle et 28,5 en règle rapide, et l'écart, 40 lancers tout rond, se joue entièrement dans les dernières cases.
Le budget d'un cheval, poste par poste
Prenons un cheval seul, sans adversaire et sans autre cheval de sa couleur, de l'écurie jusqu'au centre. Voici le nombre moyen de lancers qu'il lui faut à chaque étape, selon la règle choisie.
| Étape | Traditionnelle | Rapide |
|---|---|---|
| Sortir de l'écurie (faire un 6) | 6 | 6 |
| De la case départ jusqu'aux six cases qui précèdent le pied de l'escalier | 14,5 | 14,5 |
| De là jusqu'au centre | 48 | 8 |
| Total | 68,5 | 28,5 |
Les deux premières lignes sont identiques : les deux règles ne diffèrent qu'à la fin du parcours. Tout l'écart est dans la troisième ligne, 48 lancers contre 8. En règle traditionnelle, ces 48 lancers se décomposent en 6 pour s'arrêter pile au pied de l'escalier et 42 pour monter les six marches puis rentrer au centre.
Pour vérifier le calcul, nous avons aussi fait parcourir ce trajet 200 000 fois au moteur complet, celui qui fait tourner les parties du site. Il trouve 68,49 et 28,46 lancers en moyenne : quelques centièmes d'écart, ce qu'on attend d'un tirage au hasard.
Six lancers, d'où que tu partes
Le premier poste propre à la règle traditionnelle est l'arrêt au pied de l'escalier, et le calcul y donne un résultat étonnant : que ton cheval soit à une case ou à six cases du pied, il lui faut exactement six lancers en moyenne pour s'y poser. Être tout près ne fait rien gagner.
L'explication est simple. À chaque lancer, un seul chiffre convient : celui de la distance qui reste. Un chiffre plus petit te rapproche, un chiffre plus grand te fait avancer jusqu'au pied puis reculer du surplus. Dans les deux cas, ton cheval se retrouve encore à six cases ou moins du pied, avec de nouveau un seul chiffre gagnant. Tu as donc une chance sur six à chaque lancer, quelle que soit la distance, ce qui fait six lancers en moyenne.
La règle rapide n'échappe pas à ce mécanisme : elle le déplace. Son centre se gagne au compte exact, et un dé trop fort ne se joue pas avec ce cheval. Le calcul donne là aussi exactement six lancers depuis n'importe quelle case située à six cases ou moins du centre. La différence, c'est le nombre d'attentes de ce genre. La règle rapide n'en a qu'une. La règle traditionnelle en enchaîne huit : l'arrêt au pied, puis sept chiffres imposés dans l'escalier (le 1, le 2 et ainsi de suite jusqu'au 6, puis encore un 6 pour le centre). Huit attentes de six lancers chacune : voilà les 48 lancers de la fin de parcours.
Conséquence : sur le trajet complet d'un cheval seul, 40 lancers sur 68,5 ne le font pas bouger d'une case en règle traditionnelle (58 %), contre 8,9 sur 28,5 en règle rapide (31 %). Ici, un recul compte comme un mouvement, même s'il ne fait pas progresser.
Les trois essais ne font gagner aucun lancer
La règle rapide change aussi la sortie : tant que tous tes chevaux sont à l'écurie, tu as trois essais par tour pour faire un 6. On pourrait croire que cela fait sortir plus vite. En lancers, non : il en faut toujours six en moyenne, puisque chaque lancer a une chance sur six de donner un 6, qu'il s'agisse de ton premier essai ou de ton troisième.
Ce que les essais raccourcissent, c'est l'attente en tours. Un cheval seul sort en moyenne à son sixième tour en règle traditionnelle, et en un peu moins de deux tours et demi en règle rapide. La nuance compte, parce que tes adversaires jouent à chaque tour : moins tu passes de tours à l'écurie, moins ils avancent pendant que tu attends.
Sur ce site, le score d'une partie est ton nombre de lancers, et chaque essai compte comme un lancer. Les trois essais ne te coûtent donc rien en moyenne, mais ne te font rien gagner non plus sur ce compteur. Ils ont d'ailleurs un effet visible dans les parties : la part des lancers passés à l'écurie est plus forte en règle rapide, en bonne partie parce qu'on y lance jusqu'à trois fois par tour (voir le second tableau plus bas).
En vraie partie : deux fois plus long, pas 2,4
Pour un cheval seul, la règle traditionnelle coûte 2,4 fois plus de lancers. Dans une vraie partie, l'écart se resserre. Voici le nombre moyen de lancers qu'il a fallu au vainqueur, sur 10 000 parties par format, avec l'ordinateur Normal à toutes les places. Comme la partie s'arrête au premier joueur arrivé, chaque joueur a lancé à peu près autant de fois que lui.
| Format | Traditionnelle | Rapide | Rapport |
|---|---|---|---|
| 2 joueurs, course à 2 chevaux | 100,6 | 49,6 | 2,03 |
| 3 joueurs, course à 2 chevaux | 105,8 | 52,6 | 2,01 |
| 4 joueurs, course à 2 chevaux | 114,4 | 56,7 | 2,02 |
| 2 joueurs, partie à 4 chevaux | 186,3 | 102,8 | 1,81 |
| 3 joueurs, partie à 4 chevaux | 226,9 | 125,1 | 1,81 |
| 4 joueurs, partie à 4 chevaux | 281,5 | 153,5 | 1,83 |
Une partie complète à quatre en règle traditionnelle représente ainsi 1 117 lancers au total, tous joueurs confondus, contre 619 en règle rapide.
Pourquoi le rapport tombe-t-il de 2,4 à 2, puis à 1,8 ? Parce que les dés que l'escalier refuse servent à un autre cheval. Pour isoler cet effet, nous avons fait jouer l'ordinateur seul sur le plateau, sans adversaire donc sans prise, 20 000 fois par cas.
| Joueur seul | Bout à bout | Ensemble | Gain |
|---|---|---|---|
| Traditionnelle, 2 chevaux | 137,0 | 99,6 | 27 % |
| Traditionnelle, 4 chevaux | 273,9 | 158,8 | 42 % |
| Rapide, 2 chevaux | 57,0 | 48,4 | 15 % |
| Rapide, 4 chevaux | 113,9 | 87,6 | 23 % |
« Bout à bout » : la somme des trajets d'un cheval seul, calculée plus haut. « Ensemble » : les lancers réellement nécessaires quand l'ordinateur mène tous ses chevaux à la fois. C'est la règle traditionnelle qui profite le plus d'avoir plusieurs chevaux en course : avec quatre chevaux, elle récupère plus de 40 % des lancers qu'auraient coûtés quatre trajets successifs. Les adversaires font ensuite remonter la note, surtout par les prises : le vainqueur d'une partie complète à quatre joueurs lance 281,5 fois en règle traditionnelle, contre 158,8 pour le joueur seul.
Le tableau suivant montre où vont les lancers qui ne permettent de jouer aucun coup. Ils sont rangés en deux familles : « écurie », quand tous les chevaux du joueur attendent un 6 à l'écurie, et « fin », quand il a un cheval en fin de parcours (dans les six cases avant le pied, au pied ou dans l'escalier) et rien d'autre à jouer. Les pourcentages portent sur tous les lancers de la partie.
| Format | Traditionnelle (écurie / fin) | Rapide (écurie / fin) |
|---|---|---|
| 2 joueurs, 2 chevaux | 5,9 % / 29,8 % | 13,7 % / 4,8 % |
| 4 joueurs, 2 chevaux | 9,4 % / 18,4 % | 18,7 % / 2,6 % |
| 2 joueurs, 4 chevaux | 3,6 % / 16,9 % | 9,1 % / 2,8 % |
| 4 joueurs, 4 chevaux | 8,0 % / 9,9 % | 14,7 % / 1,6 % |
En règle traditionnelle, dans une course à deux joueurs, près de trois lancers sur dix sont perdus en fin de parcours. En partie à quatre chevaux, cette part tombe à 17 % (à deux joueurs) et à 10 % (à quatre) : il y a presque toujours un autre cheval pour employer les chiffres que l'escalier refuse. À quatre joueurs, l'écurie reprend de la place, parce que les prises se multiplient (72 par partie complète en moyenne) et qu'un cheval mangé doit refaire un 6. En règle rapide, c'est l'écurie qui domine partout, avec l'effet des trois essais vu plus haut.
Et jouer en premier, ça aide ?
Dans les mêmes parties, nous avons compté les victoires selon l'ordre de jeu. Le joueur qui lance le premier gagne entre 50,7 % et 51,0 % des parties à deux, entre 33,6 % et 34,5 % à trois, entre 25,2 % et 26,2 % à quatre, selon la règle et le nombre de chevaux. Avec 10 000 parties par format, la marge d'incertitude de la mesure est d'environ un point. Si un avantage existe, il ne dépasse donc pas un point ou deux, et en règle traditionnelle il reste dans la marge d'erreur. On peut le comprendre ainsi : sur une partie où chacun lance une centaine de fois ou plus, un lancer d'avance pèse peu. Inutile de te disputer pour commencer.
Ce qu'il faut retenir
- 68,5 lancers contre 28,5 pour un cheval seul. Les 40 lancers d'écart viennent tous de la fin de parcours : huit attentes d'un chiffre précis en règle traditionnelle, une seule en règle rapide.
- Près du pied de l'escalier, la distance ne compte pas. À une case ou à six, ton cheval mettra en moyenne le même nombre de lancers pour s'y arrêter. Un dé qui ne le pose pas pile au pied ne lui fait donc rien gagner : côté temps, il est mieux employé par un autre cheval.
- Les trois essais de la règle rapide ne changent pas le nombre de lancers pour sortir, seulement le nombre de tours d'attente.
- Plusieurs chevaux en course rattrapent une bonne partie du temps perdu dans l'escalier : la règle traditionnelle ne prend alors que deux fois plus de lancers, ou 1,8 fois en partie complète.
- Commencer la partie ne donne pas d'avantage mesurable de plus d'un point ou deux.
Pour décider quel cheval bouger à chaque lancer, les priorités sont dans le guide quel cheval bouger aux petits chevaux, et chaque cas de règle dans les règles des petits chevaux. Pour mettre ces chiffres à l'épreuve, le défi du jour se joue en règle rapide avec deux chevaux : tout le monde reçoit les mêmes dés, et le classement compte tes lancers.
